急急急关于婴儿咳嗽和湿疹，不知道是不是渗出性湿疹

健康咨询描述： 个半月
各位专家您好，我儿子现在4个半月快5个月了，在3个半月时开始出现咳嗽的症状，起初没在意，以为给孩子盖被时动作过大，被子扇的风引起孩子咳嗽的，后来厉害了就到药店买了婴儿羚羊止咳糖浆喝(由于是冬天，医院里有病的孩子多怕被传染就没去医院看)。糖浆喝了大概半个月症状轻些了但没有彻底好，怕药吃长了时间不好就没继续服药，前几天又咳嗽的厉害就带着孩子到哈尔滨红十字中心医院看了一下，医生检查说是孩子喉咙红了，给开了三种药，一种是头孢克亏干混悬剂，一种是镇咳、祛痰的氨溴特罗口服溶液还有一种是利巴韦林气雾剂。这三种药都是用于呼吸道感染的，孩子用了1周后，喉咙的红消了，咳嗽症状见轻但没有痊愈，不知道这些药继续使用对孩子好不好？我问开药的医生，医生说药里有抗生素。抗生素用时间长了对孩子是不是不好啊？请专家给予解答一是这些药还可不可以继续使用；二是孩子的咳嗽还怎么进一步治疗。
还有一个问题是孩子的右耳朵后面有湿疹，看医生了，医生说是湿疹但没说明具体如何治疗。孩子妈妈有时用棉签蘸水给孩子擦擦。而且用儿童用郁美净擦，但效果不明显。湿疹处有时像是往外渗出一些体液一样的东西，现在看起来很红，请教专家这种情况是什么湿疹该如何治疗？
最后感谢各位专家的解答，快过年了，给大家拜个早年！祝大家合家幸福！万事如意！谢谢！