3岁半男孩发烧时伴有手心脚心发热怎么回事

健康咨询描述： 近一周我家宝宝一直有点流鼻涕，偶尔咳嗽，在9月24日晚9点发现宝宝发烧37.6度，给宝宝吃了“鲜竹沥口服液”、“利君沙”，开始喝白开水、活动出汗后温度下降至正常，在凌晨3点多又开始发烧，手心热、脚心凉，用手捂了捂脚心变热，把宝宝叫醒喝白开水，并在38度以上给宝宝喝了布洛芬悬浮液，半个小时后温度降至37度左右，凌晨4点左右给宝宝吃了“利君沙”和“小儿黄娜敏颗粒”，宝宝一直睡到天亮，还是持续低烧，在9月25日中午时，发烧到37.6度左右，并伴有手心脚心发热，几乎每次发烧时都伴有手心脚心发热，出汗后变为正常，有时候怎么喝水都不出汗，什么原因。

曾经的治疗情况和效果： 给宝宝吃了“鲜竹沥口服液”、“利君沙”，开始喝白开水、活动出汗后温度下降至正常，在凌晨3点多又开始发烧，手心热、脚心凉，用手捂了捂脚心变热，把宝宝叫醒喝白开水，并在38度以上给宝宝喝了布洛芬悬浮液，半个小时后温度降至37度左右，凌晨4点左右给宝宝吃了“利君沙”和“小儿黄娜敏颗粒”，宝宝一直睡到天亮，还是持续低烧，在9月25日中午时，发烧到37.6度左右，并伴有手心脚心发热，几乎每次发烧时都伴有手心脚心发热，出汗后变为正常，有时候怎么喝水都不出汗，什么原因。

想得到怎样的帮助：反复发烧和出现手心、脚心发热（或发凉）是怎么回事？该怎样治疗？